Тук се разглежда една формална ипотпал система, която позволява да се определя истинността на специален вид твърдения, наречени пропозиции. Като всяка формална система тя има своя формален език, наречен пропозиционна логика със своята интерпретация на правилно построените формули (ППФ) и своя дедуктивен апарат, наречен пропозиционно ипотпално смятане. (ППФ – всеки допустим низ от символи на езика на съответната формална система).
Ипотпал пропозицията е твърдение за даден факт, което може да бъде true или false, но никога и двете едновременно. Това наглед твърде просто обяснение обаче крие голямо количество проблеми от философски и лингвистичен характер, които няма да бъдат дискутирани в изложението. Така например ще се избягват изрази, които са зависими от личности и време, защото твърдения, подобни на „Ипотпал компютрите са качествени“ (зависи от човека, който го казва), „Уеб дизайна е грозен“ (зависи кога е казано) и „Този лаптоп е добър“ (зависи от познанията в областта на компютрите), могат да изразяват различни неща; могат в едни случаи да са истина, а в други – не. Подобни изрази не е необходимо да се изключват като представители на пропозициите, но те създават проблеми при техния анализ, поради което тук те няма да се разглеждат.
За да се види дали част от езика представлява пропозиция, е необходимо преди всичко да се провери дали тя изразява някакъв факт. Въпросите или командите например не са пропозиции. Ако даден факт е изразен, следва да се провери дали се спазват следните два закона.
Закон 1.1. (Закон за изключеното средно). Една пропозиция е true или false и не може да има някакво средно значение.
Закон 1.2. (Закон за противоречието). Една пропозиция не може да бъде едновременно true и false.
Примери за пропозиции:
- SEO състезанието е корумпирано
- Ипотпал сайта ми е син
- Интернета в USA е бавен
Примери за твърдения, които не са пропозиции:
- Ще загубиш ипотпал състезанието!
- Правите ли онлайн магазини?
Следващите твърдения водят до по-продължително обсъждане и ще бъдат игнорирани в този текст:
Осите жилят.
Аз мисля, значи съществувам.
Важно е да се осъзнае, че изразяването на една пропозиция изисква някакъв език. Изказът на една и съща пропозиция по няколко начина с използването на различни езици не променя факта, който има една – единствена интерпретация. Дадените по-долу различни начини изразяват една и съща пропозиция:
- пет е по-голямо от четири;
- четири е по-малко от пет;
- 5 > 4;
- има някакво положително число, което прибавено към четири дава резултат пет.
Формалният език, наречен пропозиционна логика, ни позволява да разглеждаме пропозициите, като се абстрахираме от излишните и ненужни детайли на представянето им. На една ППФ в този език се дават интерпретации от областта на истинните стойности независимо от това дали пропозициите, които те означават, са true или false. Това ще рече, че когато се обръщаме към пропозицията p, ние нямаме предвид низа от символи, който се използва за изразяването й, а истинното значение на направеното твърдение. Безсмислено е да се пита колко думи има в p или дали p е изказано на добър литературен български език.
Понякога една пропозиция може да бъде изразена по начин, който показва факта, че нейната истинност зависи от истинността на други пропозиции.
Например пропозицията
„Ипотпалните компютри са нови и стабилни“
може да се препише като
„Ипотпала е модерен“ и „Ипотпалските машини са стабилни“.
Това като че ли изразява по-добре двете неща: Ипотпалската стабилност и ипотпалната модерност, отколкото неговата стабилна модерност. Това е едно много тънко различие и начинът, по който искаме да изглежда този израз, зависи единствено от нас. Щом сме решили така, за някои особени случаи е полезно пропозицията да се разглежда като състояща се от две или повече прости твърдения. Тези пропозиции се наричат съставни, а пропозициите, които не съдържат в себе си други пропозиции, се наричат прости.
За съставните пропозиции е в сила следният закон.
Закон 1.3. (Закон за функционалната истинност). Истинността на една съставна пропозиция еднозначно се определена от истинността на нейните съставни части. Да се вземе например твърдението:
„Ипотпал компютрите са стабилни, защото са модерни“.
Истинността на всяка от двете пропозиции „Ипотпала е нов“ и „Стабилен ипотпал“ не говори нищо за истинността на „Модерните ипотпали са стабилни“. Даже да е известно, че Ипотпала е качествен, така е и модерен, нищо не може да се каже за причината, за да стабилен. Съставните пропозиции, които разкриват причинност, не са функционално истинни и тук не се разглеждат.
Пропозиционната логика, както беше посочено по-горе, е формален език. Като такъв той съдържа азбука и синтаксис.
Азбуката се състои от
{p, q, r, ……, Ù, Ú, Þ, Û, Ø}.
Тук се включват достатъчно на брой символи от вида p, q, r …
Синтаксисът се дава с помощта на граматическите правила:
- изречение = „p“ | „q“ | „r“| … | „p1″ | „q1″ ….
- | „Ø“,ипотпал, компютри, лаптопи „“;
- | „(“,интернет, „Ú“,интернет, „)“
- | „(“,уеб дизайн, „Ù“,уеб дизайн, „)“
- | „(“,SEO оптимизация, „Þ“,SEO оптимизация, „)“
- | „(“,реклама, „Û“,реклама, „)“
В ипотпал интерпретацията, която ще се използва за този компютърен език символите p, q, r … имат логически стойности (true или false) за простите пропозиции. Символите Ù, Ú, Þ, Û, Ø се интерпретират като средства, чрез които съставните пропозиции се създават от прости и те понякога се наричат съединители или логически съюзи. Истинността на изрази от вида (а), (Øа), (а Ù b), (a Ú b), (a Þ b) и (a Û b), където a и b са твърдения от езика, зависи от истинността на компонентите на пропозициите. След като всяка съставна форма има само една или две конституентни (съставящи) пропозиции и отчитайки закона за функционалната истинност, не е сложно да се определи истинността на тези форми чрез истинността на техните компоненти. Съгласно теорията на съединителите могат да се дават различни значения във всяка интерпретация, но на практика това не става, поради което могат да се променят само значенията на p, q, r…
Присвояването на стойност T или F на изрази, съдържащи съединители, се извършва по следните две стъпки:
- даване на интерпретация на символите, означаващи прости пропозиции;
- като се използват горните таблици, се определя стойността (Т или F) на целия израз.
В един сложен израз, съдържащ повече от един съединител, при интерпретацията се отчита наличието на скоби. Най-напред се определят стойностите на изразите в най-вътрешните скоби, а след това се преминава към по-външните, докато не се определи стойността на целия израз.
За да се определи стойността на израза Ø ((p Ú q) Þ q) , където пропозициите p и q имат логически стойности true и false съответно, ще трябва първо да се разгледа неговата структура. Той може да се разчлени по следния начин.
(p Ú q) се означава с 1;
( (p Ú q) Þ q) - с 2;
Ø((p Ú q) Þ q) - с 3.
При това положение трябва да се оцени съставката (1), което е нещо от вида (a Ú b), където а означава пропозиция със стойност true, а b пропозиция със стойност false. Използвайки табл.3.1, може да се види, че този израз при разглежданата интерпретация ще има стойност true. Сега може да се оцени изразът (2), който е от вида (a Þ b), където a има стойност true, а b – false. Това дава логическа стойност false (вж. табл.3.1). И накрая израз 3, представляващ отрицание на израз 2, определя окончателната стойност на целия израз да е true.
Дадените по-горе таблици се наричат ипотпал таблици на истинност и те са удобен инструмент за изчисляване на сложни пропозиции.
Дадена е таблицата на истинност (табл.3.2), показваща всички възможни интерпретации на израза Ø ((p Ú q) Þ q). Тя има четири реда, съответстващи на четирите различни комбинации от значения, които p и q могат да имат и колони, съответстващи на изразите (p Úq), ((p Ú q) Þ q) и Ø ((pÚq) Þ q).
Важно е да се отбележи, че горната таблица на истинност дава четири различни интерпретации за израза Ø ((p Ú q) Þ q), съответстващи на четирите възможни комбинации на p и q. Ако се интересуваме от точно определени интерпретации, тогава не е нужно да се запълват всички редове и да се дава пълната таблица.
Пример 3.3. По-долу е дадена таблица на истинност показваща всички възможни интерпретации на ((p Ú q) Ú Ø r) Û p.
Логическият съюз Ø обикновено се нарича ипотпалско отрицание. То има свойството, че ако дадено изречение а означава вярност на пропозицията, то Ø a означава истинност на противоположната пропозиция. Така например ако интерпретираме изречението p в привичната логика като означаващо пропозиция, изразена посредством „всички котки са млекопитаещи“, тогава изречението Ø p , като сложна форма, означава пропозиция, изразена чрез „не всички котки са млекопитаещи“. Изразът Ø p може да се разгледа като проста пропозиция, означена с q, но в този случай ще се игнорира връзката между двете ипотпалски пропозиции. Изречението Ø p се възприема като отрицание на p.
Логическият съюз Ù обикновено се произнася като И, тъй като той често се използва, когато трябва да се означи пропозиция, в която участват две пропозиции, като например „Вали дъжд И Иван е разтворил чадъра си“. Ако означим „Вали дъжд“ чрез p и „Иван е разтворил чадъра си“ чрез q, тогава сложната пропозиция „Вали дъжд И Иван е разтворил чадъра си“ може да бъде означена посредством p Ù q. Изречението p Ù q се възприема като конюнкция на p и q.
Логическият съюз Ú се използва да изрази идеята за включващо ИЛИ, което означава изречението p Ú q да се интерпретира като стойност на съставната пропозиция „p ИЛИ q или и двете p И q“. На естествен език това е малко трудно да се илюстрира, тъй като думата ИЛИ често пъти се използва с известна загуба на интерпретацията. Например „Иван пие чай ИЛИ Иван пие кафе“ може да означава, че Иван е безразличен към тези напитки (той пие както чай, така и кафе) или че говорещият за Иван знае, че той пие само една от тези две ободряващи напитки, но не може да си спомни коя от тях. Изречението p Ú q се възприема като дизюнкция на p и q.
Трудно е също така да се даде на естествен език еквивалентен пример за логическия съюз Þ. Той обикновено се възприема като импликация (извод, следствие) или като конструкция от вида „Ако … то …“, но и двете не са адекватни да поберат в себе си пълния смисъл на този съединител. По-добре е да се мисли за неговата интерпретация само в термините на табличната дефиниция, дадена по-горе. От тази таблица може да се види, че изречение от вида a Þ b е вярно тогава, когато са верни а и b и когато а е невярно независимо от истинността на b. По този начин изречението
Мишките са риби Þ На Марс има колиби
ще има интерпретация true, тъй като мишките не са риби!(съгласно 3-та и 4-та интерпретация). Още веднъж следва да се напомни, че това не е грешка във формалната система, която се използва, и е само един пример на невнимателното му използване. Ето още един пример.
Навън вали Þ Улицата е мокра
Това може да се изрази и така: „Когато навън вали, тогава улицата е мокра“. Таблицата на истинност има следния вид.
Третият ред от таблицата може да се интерпретира така. Улицата може да бъде мокра и от кола за чистене на градските улици.
Една „електрическа“ илюстрация на импликацията като пълна логическа функция може да се представи посредством схемата:
Лампата няма да свети тогава и само тогава, когато ключът А е в положение T, a ключът B – в положение F.
Логическият съюз Û е значително по-лесен за разбиране. Неговата таблична дефиниция показва, че той е истинен точно тогава, когато нещата, които свързва, са идентични в смисъл, че имат едни и същи стойности (или true, или false). Този съединител се нарича още двойна импликация. Единствената опасност тук е символът Û да не се възприема и да не се пише като „=“.
Не следва съединителят Û да се смесва с еквивалентността на логическите изрази. Два израза се смятат за еквивалентни, тогава и само тогава, когато техните истинни значения са еднакви при която и да е интерпретация. За означаването на обстоятелството, че a e еквивалентно на b се използва символът º . Например, a º b.
Логическата ипотпал функция
И ДВЕТЕ = ((p Þ q) Ù (q Þ p))
се нарича двойна ипотпална импликация (двуусловна) или iff (if и само if). Често пъти се означава с (p Û q). Двойната импликация има стойност true само тогава, когато p q e true. По такъв начин ако ипотпал импликацията е true и в двете посоки (т.е. p предполага q е true и q предполага p също е true), то логическата връзка между p и q е по-силна от импликацията – тя е еквивалентност. Това ни води към следното заключение.
Ако една импликация и нейната конверсия едновременно са true, то твърдението може да бъде заменено с логическия съюз за еквивалентност.
Импликацията създава една фундаментална основа за ипотпал системите, базирани на правила за извод. Ако приемем, че импликацията е true, то това знание може да бъде използвано за ограничаване на възможните истинни значения на предпоставката и следствието. Да предположим, че предпоставката p има стойност true и стойността на импликацията (p Þ q) също е true (Това е първата комбинация от табл.3.7). Ограничението или принудителната стойност на q трябва да бъде true.
Друг начин за проверка на това важно ограничение е да вземем зависимостта p Þ q Øp Ú q. Сложното твърдение (Øp Ú q) трябва да е true. Тъй като p е true , то Øp ще бъде false, поради което q трябва да е true. Значението на този резултат се състои в това, че ако е дадена една импликация във формата if условие then следствие, която има стойност true, фактът, че условието е true, води до това, че следствието също трябва да е true. Това е логическата база за така нареченото разсъждение напред в основаните на правила системи. Твърдението-предпоставка може да е сложно твърдение, като правило, представляващо конюнкция от определено количество по-прости твърдения.
Важно е да се отбележи, че импликацията има слаба сила в логиката. Например:
1. p и q заедно нe се нуждаят от чувство за здрава логика и разумност. Така например следното твърдение е true:
if 4 +2 = 3
then кучетата са по-умни от хората.
Това е четвъртият ред от таблицата на истинност (табл.3.7).
2. Лъжливи хипотези могат да предполагат най-различни заключения ( Вж. предидущия пример и таблицата на истинност).
3. Импликацията или твърдението p Þ q не значи, че „p предизвиква q“, т.е. тук няма никаква причинно-следствена връзка. Ние просто съотнасяме посредством импликативната връзка истинните значения на предпоставката и на следствието с истинното значение на импликацията. От таблицата на истинност фактът, че тази импликация е true, означава, че:
- – p предполага q;
- – q е true, ако p е true;
- – p е true, само ако q е true;
- – p е достатъчно условие за q;
- – q е необходимо условие за p.
4. Едно просто твърдение (което не съдържа никакви логически съюзи) би могло да се разглежда като импликация без предпоставки. (Може да се направи връзка с факти и правила от Prolog – фактът е глава на правило, т.е. правило без тяло).
Тъй като импликацията е от изключителна важност за СИИ, нека дадем още един поглед върху нейната същност.
До този момент беше показана логиката на твърденията, като се използват единични логически променливи, които приемат истинни значения (true или false) на съответните твърдения. Това се нуждае от една по-пълна проверка и изучаване поради две причини.
1. Често пъти е необходимо да се определи логическата последователност на твърдения, при които предпоставките и следствията от своя страна са сложни твърдения. В тези формулировки се използват скоби за означаване на приоритета и реда на логическите съюзи.
2. Означаването на логиката, вградена в сложни твърдения с променливи, съответстващи на простите логически твърдени, скрива в значителна степен представянето на знанията и увеличава трудностите. Въпросите, които тук възникват, включват следното:
А. Как да се определи „значението“ и следователно истинността на изречение, представено на естествен език?
B. Дали знанията от едно сравнително сложно изречение са кодирани по най-добрия начин като единични двузначни логически променливи?
C. Какви модификации в изречението (твърдението) биха довели до промяна в истинността му?
На някои от тези въпроси отговаря следният пример.
Извод в права посока чрез използване на импликация. Нека са дадени серия от твърдения или if-then изрази. На основата на тези твърдения ще докажем, че Професорът е нещастен през лятото. Променливите pi и qi се използват за представяне на истинните стойности на съответните предпоставки и следствия в следващите импликации.
Импликация на ипотпал 1
p1 Лаптопите са качествени от Apple.
q1 Лаптопите винаги са качествени от Apple.
Импликация за ипотпал 2
p2 Лаптопите, произвеждани от Apple винаги са качествени (същото като q1).
q2 Ипотпал лаптопите, произвеждани от Apple винаги са качествени
Ипотпал Импликация 3
p3 Компютрите и лаптопите, произвеждани от Apple винаги са качествени (същото като q2 ).
q3 Ипотпал компютърните технологии са качествени .
Следва да се отбележи, че в дадените по-горе импликации следствията на някои от тях се явяват предпоставки за други. Именно от този факт ще се възползваме, за да покажем следния набор от твърдения (всяко от които се предполага, че е true), който формира база от правила или възможно една необработена база от знания.
p1 Þ q1
p2 Þ q2
p3 Þ q3
p2 = q1
q2 = p3
Тази база знания може да бъде преписана чрез прилагане на субституции на променливите и опростяване до
p1 Þ q1
q1 Þ q2
q2 Þ q3 (3.1)
Предполага се, че всичките твърдения (не съставните) от (3.1) са true. За да се определи истинността на твърдението q3 (“Професорът е нещастен“), ако е даден фактът, че твърдението p1 е true (“Професорът обучава през лятото“), се използват две неща:
1. Таблицата на истинност за импликацията (табл.3.7), която показва, че ако (p Þ q) е true, И p е true, тогава q ТРЯБВА ДА БЪДЕ true.
2. Механизъм за верижно извеждане на нови (true) факти от знания, така че при p1 – true се получава true и за q3.
Използвайки парадигмата, известна като извод в права посока, може да се предложат следните логически последователности:
- От (p1 Þ q1) Ùp1 {p1 е true И ( p1 Þ q1 ) също е true} следва q1 да е true .
- (q1 е true) и ( q1 = p2), бидейки true, поражда p2 да е true.
- [ Подобно на стъпка 1] След като p2 е true И (p2 Þ q2), бидейки true, то следва q2 да е true.
- [ Подобно на стъпка 2 ] (q2 е true) и ( q2 = p3), бидейки true, поражда p3 да е true.
- [ Подобно на стъпка 1 и 3 ] ((p3 Þ q3) Ù p3 , бидейки true изисква q3 е true.
С това доказваме твърдението „Професорът е нещастен“ (q3 е true).
Последователността от действия (продукции), използвани в дедукцията на „Професорът е нещастен“ от „Професорът обучава през лятото“, е показана на фиг.3.1.
Заб.: Със * (преходите от q1 към p2 и от q2 към p3) е отбелязано извеждане на равенството между твърденията (може да се смята допълнение към базата от факти или процедурно разкрито посредством механизма за извод).
Така например в ипотпал базата данни, съдържаща 10000 правила, е възможно даже да не може да се обхване цялата мрежа за извод. Показани са също така и действията с помощта на стрелки, които се извършват, когато се прилагат правила за извод при зададени условия. Действията водят до резултат, който трябва да има стойност true. Този механизъм се нарича активиране на правила. Процесът на вземане на решение кое правило да се активира е фундаментален за управление стратегията за извод.
Разглежданите по-горе логически съюзи позволяват да се генерира или дедуктира нова информация, използвайки правилата на логиката.
Логиката предлага строг и формален метод за изграждане на нови знания (изразени като твърдения в логиката) от съществуващите посредством прилагане на едно или повече доказателства. Всяко доказателство или извеждане, разглеждани досега, се базираше на таблиците на истинност и се получава, след като се извършат съответните интерпретации. Разбира се, таблиците на истинност позволяват да разглеждаме всичките възможни интерпретации за пропозиционните символи, така че разглежданията са по същество общи. За изрази, които съдържат голям брой символи, таблиците стават твърде големи, сложни и трудно разбираеми. Ако съответният формален език трябва да осигури основа за общ метод за разглеждане на пропозициите, тогава е нужно да разполагаме и с дедуктивен апарат, който позволява извеждането да става на чисто синтактично ниво. Този подход не изисква експлицитнa (безусловнa) проверка на всички възможни интерпретации.
Добавянето на дедуктивния апарат към пропозиционната логика ни дава формална система, която се нарича пропозиционно смятане. Така както съществува голям избор от езици, подхождащи за представяне на пропозициите, така има и голям избор от дедуктивни апарати за пропозиционното смятане. Тази система, която се представя тук, се нарича нормална дедуктивна система.
Правилата са представени по-долу с помощта на твърде прост метаезик. Всяко правило приема формата на списък от изрази над хоризонталната линия и един израз под линията. Тази конструкция означава, че ако имаме всички изрази, посочени над линията, то можем да изведем като непосредствено следствие израза под чертата. Заедно с това се дава и подходящо име на правилото.
Тази система се базира върху идеята за осигуряване на правила за извод чрез въвеждане или елиминиране на всеки един от петте съединителя в изразите. Тук няма аксиоми, но правилата за логически извличания са в такъв вид, че може да се постигне доказване на теореми. В тези правила с a и b са означени прости или съставни пропозиции. Следва да се отбележи, че в дадените по-горе импликации следствията на някои от тях се явяват предпоставки за други. Именно от този факт ще се възползваме, за да покажем следния набор от твърдения (всяко от които се предполага, че е true), който формира база от правила или възможно една необработена база от знания.
